Hay sobat, ketemu lagi nih di bab persamaan koordinat kutub, kali ini saya akan menjelaskan apa itu kutub,sumbu kutub dan lain-lain...
yuukkk ikuti blog saya 👇 dibawah ini....
Sistem Koordinat Kutub
Dua orang Perancis yaitu Pierre
Fermat dan Rene Descartes, telah memperkenalkan system koordinat yang sekarang
kita kenal dengan sebutan system koordinat Cartesius atau siku-siku. Dasar
pemikiran mereka ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan
dua bilangan yang ditulis dengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan
jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus sesamanya (Gambar 7.1). Sistem
koordinat ini adalah dasar dari geometri analitik, dan sangat membantu
pengembangan kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang kita capai hingga
saat ini. Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus
bukanlah satu-satumya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada
bidang. Cara lain adalah menggunakan apa
yang disebut koordinat kutub
Koordinat
Kutub
Kita mulai
dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal pada
sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub
ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada
sebuah system koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub)
adalah perpotongan antara sebuah lingkaran
tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari
0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah
salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (r,θ) dinamakan sepasang koordinat kutub dari
titik P (Gambar 7.2). Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling
mudah digambar apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas
demikian telah tergambar lingkaran-lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang
memancar dari pusat itu. Kita dapat melihatnya pada Gambar 4.3, pada gambar ini
telah terlukis beberapa titik
Persamaan Kutub
Contoh persamaan
kutub adalah :
Seperti halnya dengan system
koordinat siku-siku, kita juga dapat menggambarkan grafik sebuah persamaan
kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang mempunyai paling
sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan yang bersangkutan.
Salah satu cara untuk menggambar grafik itu adalah dengan menyusun daftar
nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengan koordinat-koordinat
yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik itu dengan sebuah kurva yang mulus.
Contoh: Gambar grafik persamaan
kutub r = 8 sin θ
Penyelesaian :
Kita ganti kelipatan π/6 untuk θdan menghitung nilai r yang
bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali
(Gambar 4.5)
Hubungan
dengan Koordinat Cartesius
Andaikan sumbu kutub berimpit
dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius. Maka koordinat kutub (r,θ)
sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persamaan :
Hubungan tersebut jelas
berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran pertama, yang dapat
kita lihat pada Gambar 4.7. mudah dibuktikan untuk titik-titik dalam kuadran
lain
Contoh
Tentukan koordinat Cartesius dari
titik yang koordinat kutubnya adalah (4, π/6).
Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah
(-3, 3).
Penyelesaian :
Jika (r,θ) = (4,π/6), maka
PERHATIKAN
Karena r bisa bernilai 0, ada
kesalahan yang mungkin terjadi dalam mengalikan kedua sisi pada suatu persamaan
kutub dengan r atau dalam membagi kedua bagian tersebut dengan r. Pada kasus
yang pertama, kita dapat menambahkan kutub pada grafik; pada kasus kedua, kita
dapat menghilangkan kutub dari grafik. Dalam Contoh di atas, kita kalikan kedua
sisi dari r = 8 sin θ dengan r tanpa menimbulkan
kesalahan karena kutubnya telah terdapat pada grafik sebagaimana titik dengan
koordinat-θ0. Persamaan kedua kita ubah berturut-turut sebagai berikut :
Grafik Persamaan
Kutub
Grafik persamaan kutub yang telah
dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkaran dan konik.Sekarang kita akan
membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya, yaitu kardioid,limason,
mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun persamaannya tetap sederhana kalu digunakan
persamaan kutub. Dituangkan dengan koordinat siku-siku, persamaannya
tidak lagi sederhana. Jadi kita dapat melihat keuntungan adanya system
koordinat ini. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu system
dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam system lain. Sifat demikian
akan kita gunakan kelak untuk memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu
system koordinat yang tepat
Sifat
simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada beberapa
pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan
Tidak ada komentar:
Posting Komentar