BAB II. GARIS LURUS (LANJUTAN) DAN LINGKARAN

       Dalam pembahasan  kali ini sobat, kita akan belajar mengenai garis,Dimana garis itu adalah kumpulan titik-titik yang dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda  atau himpunan titik-titik  yang bergerak secara kontinu. Gerak Titik ada 2 yaitu seperti dibawah ini :

 Titik Diskrit                           

Titik Kontinu

                          

Sebelumnya kita telah mempelajari beberapa bentuk persamaan garis lurus, nah pada kegiatan ini kita akan mempelajari persamaan normal suatu garis lurus atau persamaan Hesse. Persamaan ini akan memudahkan sobat dalam menentukan jarak suatu titik ke suatu garis

1. GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU   

a. Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi 
Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil

adapun  nih sobat!!! Kedudukan titik-titik yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dimana sebuah titik tetap dan garis tetap akan membentuk irisan krucut (conic section).

• Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1) 

Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva

Garis melalui A(1, 2) ⇒A(1) + B(2) + C = 0 ⇒ A + 2B + C = 0 ---------- pers. 1

Garis melalui B(-3, 4) ⇒ A(3) + B(-4) + C = 0 ⇒ -3A + 4B + C = 0 ----- pers. 2

Garis melalui C(5, 0) ⇒ A(5) + B(0) + C = 0 ⇒ 5A + C = 0 -------------- pers. 3

Langkah 2) 

Membuat sistem persamaan linier tiga variabel 

−𝐴+2𝐵+𝐶=03𝐴+4𝐵+𝐶=05𝐴+𝐶=0

Langkah 3) 

Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu :

A = 1, B = 2 dan C = -5

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0

Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di atas.

 Garis x + 2y - 5 = 0 seperti ditunjukkan pada gambar di atas membentuk sudut terhadap sumbu x positif. Besarnya sudut yang terbentuk tersebut akan mempengaruhi kemiringan garis. Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination) dan biasanya dinotasikan oleh sudut α. Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.

 

Maka Sobat kita dapat mendeskripsikan sesuai dengan masalah diatas berdasarkan GRADIEN DAN SUDUT INKLINASI nya, nah seperti dibawah ini :

OR ⊥ AB, sehingga 

 

 

Tabel 1. Hubungan antara gradien, sudut inklinasi, dan bentuk garis

Nilai Gradien (m)	Nilai sudut inklinasi (α)	Deskripsi bentuk garis
m > 0	sudut lancip	Dari kiri bawah ke kanan atas ( / )
m = 0	α = 0०	Mendatar, sejajar sumbu x (­一)
m < 0	sudut tumpul	Dari kiri atas ke kanan bawah ( \ )

b. Sifat-sifat Garis dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan 

Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garis- garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar. Perhatikan bentuk garis-garis pada gambar berikut.

Gambar di atas memperlihatkan bahwa garis-garis bergradien positif atau negatif memotong sumbu x dan sumbu y masing-masing di satu titik. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x ditentukan dengan mensubstitusikan nilai y = 0 ke dalam persamaan garis. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu y ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = 0 ke dalam persamaan garis.  Sedangkan garis sejajar sumbu x hanya memotong sumbu y dan tidak memotong sumbu x. Garis sejajar sumbu y hanya memotong sumbu x dan tidak memotong sumbu y.Tabel berikut meringkas hubungan persamaan garis dan titik-titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y. maka dapat kita masukan rumusnya sebagai berikut :

 

c. Persamaan Normal Sebuah Garis

x cos 𝛃 + y sin 𝛃 - p = 0

dengan, 

Contoh soal

     Misalkan x menyatakan suhu dalam derajat Celsius (centigrade) dan variabel y menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit. Ukuran suhu 0°C setara dengan 32°F, dan suhu 100°C sama dengan 212°F. Tentukan persamaan garis yang menyatakan hubungan suhu y Fahrenheit terhadap suhu x Celsius dalam bentuk y = mx + c. Ubahlah persamaan tersebut dalam persamaan normal. Buatlah grafik garis pada sistem koordinat Cartesius, tentukan titik-titik potong garis dengan sumbu koordinat.

Penyelesaian :

Diketahui :
x menyatakan suhu dalam derajat Celsius y menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit 0°C setara dengan 32°F suhu 100°C sama dengan 212°F

Ditanya :
1. Persamaan garis 
2. Persamaan normal garis tersebut.
3. grafik garis pada sistem koordinat Cartesius.

Jawab :

1. Persamaan Garis

   Menggunakan persamaan gradien

Persamaan Normal garis tersebut

  y = 1,8x + 30, maka m = 1,8

𝛂 = arc tan m

𝛂 = arc tan 1,8

𝛂 = 60,95◦

𝛃 = 90° + 60,95°

𝛃 = 150,95°

Misalkan titik potong di y = 0, maka x = -16,67

p = -16,67 . cos 150,95°

p = -16,67 . -0,87

p = 14,5 

Persaam Normal garis :

x cos 𝛃 + y sin 𝛃 - p = 0

x cos 150,95° + y sin 150,95° - 14,5 = 0

x (-0,87) + y (0,48) - 14,5 = 0

-0,87x + 0,48y - 14,5 = 0

Jadi persamaan normal dari  y = 1,8x + 30 adalah -0,87x + 0,48y - 14,5 = 0

3) Grafik

        
2. LINGKARAN

Pada bab 2 ini sobat kita akan membahas mengenai Lingkaran (kurva berderajat dua ) sebagai garis melengkung yang kedua ujungnya bertemu pada jarak yang sama dari titik pusat. Lingkaran adalah contoh kurv a tertutup sederhana yang merupakan himpunan titik pada ruang dua dimensi yang berjarak sama dengan suatu titik tertentu yang panjangnya sama.

 

Lingkaran dengan titik pusat C (a, b), jari-jari r, dan ada titik pada lingkarang P(x, y)

Konsep Jarak : 

CP = r = √( x - a )² + ( y - b )² 

(x - a)²  + (y – b)²  = r² 

x²  – 2ax + a²  + y²  – 2by + b² = r²

x² – 2ax + y² – 2by + a² + b² – r² = 0

A = 1, B = 1, C = 0, D = -2a, E = -2b, F = a + b – r

Persamaan umum lingkaran (x - 2) + (y – b) = r 

Kedudukan titik-tik yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap akan membentuk irisan kerucut (conic section). 

1. Bentuk Umum Irisan Kerucut sebagai Kurva Berderajat Dua

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak nol.

Contoh 10

Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk kurva berderajat dua yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola.

Gambar 27. Contoh kurva berderajat dua dari irisan sebuah kerucut

Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik. Kedudukan titik-titik yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap akan membentuk irisan kerucut (conic section).  

Tiap irisan kerucut memiliki komponen-komponen yang menjadi karakteristik dari tiap bentuk kurva yaitu esentrisitas (eccentricity), garis direktriks (directrix), dan titik fokus. Misalkan sebuah titik P bergerak terhadap sebuah garis tetap l, dan sebuah titik tetap F. Jarak P ke F dinyatakan oleh d dan jarak P ke l dinyatakan oleh d¢. Perbandingan jarak d dan d¢ disebut esentristitas yaitu e = d : d¢. Garis l disebut garis direktriks dan titik F disebut titik fokus. Nilai esentrisitas akan menentukan jenis irisan kerucut dengan interval nilai e meliputi e < 1, e = 1, dan e > 1. 

Esentrisitas : Perbandingan Tetap

Direktriks   : Garis Tetap

Titik Fokus

Esentrisitas : e = d : d'

d = d'  ⇒ e = 1

d < d'  ⇒ e < 1

d > d'  ⇒ e > 1

• Garis Singgung Dua Lingkaran
  

       Sobat pernah lihat mesin giling ataupun roda sepeda? Bila sobat lihat lagi di sepeda terdapat rantai yang menghubungkan antara gear roda dengan gear pedal. Nah dua roda gear itulah yang disebut dua lingkaran dan rantai itu desebut garis singgungnya. Lebih tepatnya garis singggung persekutuan luar. Jadi dapat diartikan bahwa garis singgung lingkaran adalah garis yang tepat menyinggung dua lingkaran. Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. 

Pada gambar di atas tampak bahwa garis k tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis k adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran.

1.   Garis Singgung persekutuan dalam lingkaran
      Garis Singgung persekutuan dalam lingkaran adalah garis singgung 2 lingkaran yang  memotong garis 2 titik pusat
   
   
   
   
   
   2. Garis Singgung persekutuan luar lingkaran
   Garis Singgung persekutuan luar lingkaran adalah garis singgung 2 lingkaran yang   tidak memotong garis 2 titik pusat
   
   
   
   contoh 1 : 

1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y - x +3 = 0 adalah...
Pembahasan :
L = x² + y² = 25 ..... (1)
2y - x +3 = 0 atau y = 1/2 x - 3/2 sehingga mk = 1/2
Garis singgung g tegak lurus k maka mg = - 1/mk maka mg = - 2
Persamaan garis singgung g adalah y = mx + n = - 2x + n .....(2)

x² + y² = 25
x² + (- 2x + n)² = 25
5x² - 4nx + (n² - 25) = 0
a = 5, b = - 4n, c = (n² - 25)

Syarat menyinggung D = 0
b² - 4 ac = 0 atau b² = 4ac
(- 4n)² = 4 . 5 . (n² - 25)
16n² = 20n² - 500
4n² = 500
n² = 125
n = ± √125
n = ± 5√5 ....(3)

Subtitusi 3 ke 2
y = - 2x + n
Garis singgung 1 : y = - 2x + 5√5
Garis singgung 2 : y = - 2x - 5√5

Contoh Soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y = 25 yang sejajar garis y = 2x + 3

1. Identifikasi masalah

-      x² + y² = 25 ( merupakan persamaan lingkaran), maka didapatkan sebuah lingkaran dengan titik pusat (0,0) dan jari-jari 5

-       garis singgung sejajar dengan garis y = 2x + 3, didapatkan m = 2

-       misalkan garis singgung lingkaran adalah k dan garis y = 2x + 3 adalah h

-       k // h, maka mk = mh = 2

-       k = y = 2x + 3, data yang dibutuhkan titik singgung untuk mencari c

       2. Strategi pemecahan masalah

mencari titik singgung

P₁ dan P₂ pada lingkarang maka :

x₁² + y₁² = 25

x₂² + y₂² = 25

P₁ dan P₂ pada garis singgung

y₁ = 2x₁ + c

y₂ = 2x₂ + c

Substitusikan persamaan y = 2x + c dan x₁² + y₁² = 25 x² + (2x + c )² = 25

x² + 4x² + 4xc + c² = 25 5x² + 4cx + c² = 25

5x² + 4cx + c² - 25 = 0

a= 5, b= 4c, c =  c² - 25
Agar memiliki solusi riil, syarat garis singgung adalah D = 0
b² - 4ac = 0
(4c)² - 4 (5) ( c² - 25 ) = 0
16c² - 20c² + 500 = 0
-4c² + 500 = 0

500 = 4c²

125 = c²
c ± 5√5

Jadi, persamaan garis singgungnya  :

y = 2x - 5√5

dan 

y = 2x + 5√5

Jika diketahui garis y = mx + n dan lingkaran x² + y² = r² maka persamaan garis singgung yang sejajar y = mx + h yaitu y = mx + k dimana k = ± r √(1+m²)
Sehingga diperoleh 2 garis singgung

y = mx + r √(1+m²)

dan 

y = mx - r √(1+m²)

 

Semoga bermanfaat bagi teman-teman semua, sekian dan terima kasih ........!!!!!!